جبر بولی

به نظر می رسد که ایده ی وضع اصول موضوعه ای برای کار با علامت های مجرد (نه لزوماً اعداد) برای نخستین بار در انگلستان و حدوداً در زمان جورج بول (1815-1864) مطرح شده باشد. بول ایده های اصل خود را در 1847 در جزوه ای با عنوان تحلیل ریاضی منطق (2) منتشر کرد. در 1854، در تفحصی در قوانین تفکر که نظریه های ریاضی منطق و احتمال ها بر آن ها بنا شده اند(3)، شرح بسیار کامل تری از کار خود ارائه داد. «جبربولی» اصطلاحی است که اغلب به جبر مجموعه ها اطلاق می شود، هرچند که آنچه را امروزه «حساب گزاره ها»(4) می نامیم و عمدتاً به کمک جدول های ارزش مورد مطالعه قرار می گیرد، می توان از آن مراد کرد.
بول از حروف کوچک نظیر z,y,x برای نمایش مجموعه ها استفاده کرد، در حالی که امروزه ما اغلب حروف بزرگ C,B,A و امثال آن ها را به کار می بریم. فرض می شود که می توانیم تشخیص دهیم که شیء مفروض به مجموعه ای مفروض تعلق دارد یا نه.یک مجموعه را می توان با گفتن این که همه ی اقلام آن خاصیت یا ویژگی معینی را دارا هستند توصیف کرد. مجموعه ای که هیچ عنصری نداشته باشد، مجموعه ی تهی نامیده می شود که در نمادگذاری بول به عنوان عدد 0 و در نمادگذاری نوین به صورت
یا O اوی بزرگ، نوشته می شود. مجموعه ی همه ی عنصرهای تحت بررسی (شامل همه ی مجموعه های تحت بررسی و شاید بیشتر) مجموعه ی جهانی، نامیده می شود-1 در نمادگذاری بول و امرزه اغلب I، حرف بزرگ آی. اگر مجموعه ی همه ی موجودات انسانی را به عنوان مجموعه جهانی در نظر بگیریم، در این صورت همه ی مردان، همه ی افراد پنجاه ساله، همه ی مردمان آبی چشم، و همه ی مردمان قهوه ای چشم چهار مجموعه ی متفاوتند که همه زیرمجموعه های مجموعه ی جهانی اند. مجموعه ی همه ی مردمان دو سر، مجموعه ای تهی است (امیدواریم این طور باشد).
مجموعه ها را می توان با هم ترکیب کرد تا مجموعه های جدیدی به دو طریق اساسی تشکیل شود. حاصل ضرب منطقی یا اشتراک دو مجموعه ی  (یا A و B)- بول آن را به صورت  یا . xنشان می داد (امروزه اغلب به صورت  نشان داده می شود) و «A اشتراک B» نامیده می شود- متشکل از همه ی عنصرهایی است که در هر دو مجموعه قرار دارند. اگر A مجموعه ی همه ی مردان و B مجموعه ی همه ی مردمان آبی چشم باشد،
مجموعه ی همه ی مردان آبی چشم است. اگر C مجموعه ی همه ی مردمان قهوه ای چشم باشد،
  ، که در آن=برای ارتباط دادن دو نماد مختلف برای مجموعه ای واحد (در این حالت مجموعه ی تهی) به کار می رود. بنابر معنای حاصل ضرب منطقی، باید
. بول این را به صورتنوشت. وقتی این معادله به عنوان شرطی روی اعداد مجهول و نه یک حکم نظریه ی مجموعه ای در نظر گرفته شود، تنها دارای جواب های 0 و 1 است. این مطلب رهنمون بول برای کاوش در تعابیر نظریه ی مجموعه ای او برای 0 و 1 شد که قبلاً آن را ملاحظه کرده ایم.
منظور از اجتماع دو مجموعه ی A و B-که بانشان داده و «A اجتماع B» نامیده می شود- مجموعه ای است که اعضای آن، اعضای مجموعه ی A یا مجموعه ی B یا هر دو است. با استفاده از A و B مانند پاراگراف پیشین، مجموعه ی A متشکل از همه ی مردمانی خواهد بود که مرد هستند یا چشم آبی دارند، و البته شامل همه ی مردان آبی چشم است.
«مجموع منطقی» بول کمی متفاوت بود. مجموع منطقی مجموعه های  وy- که با x +y نشان داده و « xبه ع به علاوه ی y» خوانده می شود- متشکل از همه ی عناصر در  یا y است که در هر دو نیستند. همان طور که ما با بول موافقت کردیم که ، شاید می شد از او انتظار داشته باشیم که با ما موافق باشد که 1+1=1 و
. اما تعبیر مجموع منطقی  او دشوار است. وی در هر مواجهه با آن نماد صوری را برای آن در نظر گرفت؛ این امر موجب پیچیدگی هایی در کار او شد که نیازی به بحث در آن نیست.
دیده می شود که شبیه های برخی قوانین در جبر معمولی، در جبر بولی برقرارند. مثلاً A قانون تعویض A قانون تعویض پذیری برای ضرب های منطقی است. همچنین A
مشابهی برای قانون توزیع پذیری است. متناظر این قانون با قانون توزیع پذیری جبر معمولی به خصوص وقتی از نمادهای بول استفاده کنیم، بدیهی است:> x(y+z)=xy+xz.
راه دیگری برای ساختن مجموعه ای جدید، نه ترکیب کردن دو مجموعه، بلکه متمم گیری است. اگر از مجموعه ی جهانی I همه ی اعضای مجموعه ی A را برداریم، عنصرهای باقی مانده، مجموعه ای به نام متمم A تشکیل می دهند که به صورت های مختلف با I-A
، A^ˊ-A، وᾹ نشان داده می شود. بنابر تعریف،
A∩A^ˊ=O و A∪A^ˊ=I
در حساب گزاره ها، حروف به جای نشان دادن اعداد (مانند جبر دبیرستانی یا پیش دانشگاهی) یا مجموعه ها (مانند جبر بولی) به نشانه ی گزاره هایی هستند که ممکن است راست و یا دروغ باشند. برای اشاره ی مختصری به رابطه ی بین جبر بولی و حساب گزاره ها، تنها خاطر نشان می کنید که اگر A گزاره ی «گل های سرخ قرمزند» و B گزاره ی «بنفشه های آبی اند» باشند، در این صورت
A∧Bعبارت است از «گل های سرخ قرمز و بنفشه های آبی اند» و
A∨B عبارت است از «گل های سرخ قرمزند یا بنفشه های آبی اند یا هر دو گزاره راست است».
جان وِنْ (5)(1834-1923)، از معاصران بول و نیز اهل انگلیس، راهی برای نمایش روشن عبارت های بولی از قبیل اعضای راست و چپ قانون توزیع پذیری اختراع کرد. نمودارهای مشابهی مستقلاً به وسیله ی لئونهارت اویلر (این ها دایره های اویلر نامیده می شدند) و به وسیله ی اوگاستس دمورگن (6) و دیگران اختراع شدند. در نمودارهای ون حصاری دور اعضای مجموعه می کشیم تا آن ها را از ناعضوها جدا کنیم. در این صورت «سطح» مشترک ناحیه هایی که نمایش دو مجموعه هستند، ناحیه ی هاشورخورده در شکل [9]-1، نمایش حاصل ضرب منطقی آن هاست. شکل [9]-2 حالتی را نشان می دهد که در آن
مجموع منطقی به صورتی که به وسیله ی ریاضیدانان جدید تعریف شده است با سطح هاشورخورده در شکل [9]-4 نمایش داده می شود. برای یافتن نمایش ون ضو سمت چپ قانون توزیع پذیری، ابتدا مجموع منطقی و سپس حاصل ضرب منطقی آن با A را هاشور می زنیم و به این ترتیب سطح دوبار هاشورخورده ی شکل [9]-5 را به دست می آوریم.
تحلیل مشابهی از عضو راست قانون توزیع پذیری همان مجموعه را حاصل می کند. بنابراین دو عضو صرفاً نام هایی متفاوت برای مجموعه ای واحدند (خواننده شاید بخواهد نمودارهای ون را در مورد دیگر قانونهای توزیع پذیری جبربولی  کار ببرد).
جالب ترین پیشرفت جدید در ارتباط با جبر بولی، کاربرد آن در طراحی کامپیوترهای الکترونیکی از طریق تعبیر ترکیب های بولی مجموعه ها به عنوان مدارهای راه گزینی (7) است. حاصل ضرب منطقی دو مجموعه، متناظر با مداری با دو کلید به صورت سری است. برق در چنان مداری در صورتی جریان پیدا می کند که هر دو کلید اول و دوم بسته باشند. مجموع منطقی دو مجموعه، متناظر با مداری با دو کلید به صورت موازی است. برق در چنان مداری جریان پیدا می کند هرگاه یکی از دو کلید یا هر دو بسته باشد.
در نمودار آخر شکل [9]-6، دو کلید A باید به طور مکانیکی به طوری به هم مرتبط شوند که هر دو همیشه باز یا هر دو بسته باشند. دو مدار آخر معادلند (بنابر قانون توزیع پذیری آن ها متناظر با مجموعه های یکسانی هستند)؛ اما ساختن سخت افزاری برای مدار اول ساده تر است.

پی نوشت ها :

1. Anice seybold
2. Mathematical Analysis of Logic
3. An Investigation of the Laws of Thought on which Are Founded the Mathematical Theories of Logic and probabilities
4. propositional caluculus
5. John venn
6. Augustus De Morgan
7. switching circuits

منبع مقاله :
باومگارت، جان[و دیگران]؛ (1385)، تاریخ جبر، محمد قاسم وحیدی اصل، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست: بهار 1385